ماتریس و عملیات های روی آن
===========================

ماتریس ها ساختار هایی انتزاعی مانند گراف ها هستند که در بسیاری از علوم کاربرد
دارند. ماتریس ها پایه جبر خطی هستند که در الگوریتم های هوش مصنوعی و یادگیری
ماشین بسیار به کار می روند. در المپیاد نیز ماتریس ها در الگوریتم های پیچیده
مانند
FFT
به کار می روند و آشنایی با آن ها برای یک دانش آموز المپیادی مفید است.

در این فصل، با ماتریس ها آشنایی مختصری پیدا می کنیم و سپس به بررسی رابطه بین
ماتریس ها و گراف ها می پردازیم تا به کمک آن ها بتوانیم الگوریتم های سریعی
برای چند مساله ارائه کنیم.

ماتریس
-------
هر آرایش مستطیل شکل از عدد های حقیقی، که شامل تعدادی سطر و ستون است یک ماتریس است.
به هر عدد حقیقی واقع در هر ماتریس یک **درایه** آن ماتریس می گوییم.

:math:`\begin{equation*}
A = 
\begin{bmatrix}
12 & 78 & -120 \\
3.7 & -809 & 5
\end{bmatrix}
\end{equation*}`
:math:`\begin{equation*}
B = 
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
4 & 2 
\end{bmatrix}
\end{equation*}`
:math:`\begin{equation*}
C = 
\begin{bmatrix}
-0.5 & -90 \\
0 & 4.09 \\
5 & 6 \\
92 & 37 
\end{bmatrix}
\end{equation*}`

مرتبه ماتریس
-------------
ماتریسی که m ستون و n سطر دارد را از **مرتبه** n × m می خوانیم.

جمع و تفریق ماتریس ها
-----------------------
برای جمع دو ماتریس در گام اول باید توجه کنیم که تعداد سطر های دو ماتریس و تعداد ستون های دو ماتریس با هم برابر باشند(لزومی ندارد که تعداد سطر ها با تعداد ستون ها برابر باشد).
در قدم بعدی هر درایه ماتریس A با درایه متانظر در ماتریس B جمع می شود و درایه متانظر در C را می سازد.
عملیات تفریق نیز به همین روش انجام می شود.

:math:`\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
2 & 4  \\
1 & 3 
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
3 & 2  \\
4 & 1 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 & 6  \\
5 & 4 
\end{bmatrix}
\end{equation*}`

:math:`\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
37 & 7  \\
0 & 3 
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
6 & 13  \\
2 & -5 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
31 & -6  \\
-2 & 8 
\end{bmatrix}
\end{equation*}`

ضرب ماتریس ها
--------------
برای ضرب ماتریس ها در ابتدا باید توجه داشت که اگر ماتریس A، n سطر و m ستون داشته باشد ماتریس B باید m سطر و z ستون داشته باشد. در این صورت ماتریس C که حاصل ضرب این دو ماتریس است n سطر و z ستون دارد.
درایه :math:`c_{ij}` برابر است با جمع :math:`a_{ik} × b_{kj}` که در آن k یک عدد طبیعی است که حداکثر مقدار آن m است.


:math:`\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
4 & 2 & 3 \\
0 & 3 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
7  \\
-5 \\
10 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
48 \\
-25 
\end{bmatrix}
\end{equation*}`

ضرب عدد در ماتریس
-------------------
هنگامی که یک عدد حقیقی k در یک ماتریس ضرب می شود تمامی درایه آن ماتریس در k ضرب می شود.

:math:`\begin{equation*}
5
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
2 & 3 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 5 \\
10 & 15 
\end{bmatrix}
\end{equation*}`