در این قسمت 30 سوال وجود دارد
ثابت کنید که گراف های $K_5$ و $K_{3,3}$ مسطح نیستند.
یک گراف مسطح داریم که دور به طول سه ندارد. ثابت کنید که در این گراف $e \le 2n-4$ برقرار است.
تمام مقادیر $r,s$ را بیابید به طوری که $K_{r,s}$ مسطح باشد.
اثبات یا رد کنید که به ازای هر عدد طبیعی مانند $n$ یک گراف مسطح ۴-منتظم وجود دارد که تعداد راس هایش از $n$ بیشتر باشد.
اثبات یا رد کنید که دوگان هر گراف مسطح دو همبند که تمام درجاتش بیشتر از دو باشد، یک گراف ساده است.
اثبات کنید که هر گراف مسطح دو بخشی است، اگر و تنها اگر ناحیه هایش زوج یال داشته باشند.
یک گراف مسطح داریم که تور اویلری دارد. ثابت کنید که می توان ناحیه های مجاور آن را با دو رنگ رنگ آمیزی کرد به طوری که ناحیه های مجاور هم رنگ نباشند.
در گراف مسطح $G$ زوج ثابت کنيد ميشود يالهاي را طوري جهت دار کرد که حول هر راس جهت يال ها يکي در ميان عوض شود
اگر درجه هر راس در گراف مسطح $G$ زوج باشد ثابت کنيد نواحي گراف دو رنگ پذير اند
حالت خاص قضیه بالا را نیز اثبات کنید به این شکل که $n$ خط در صفحه داریم برای نواحی حاصل از آن خطوط ثابت کنید نواحی دو رنگ پذیر اند
به گرافی مسطح که سه همبند یالی باشد چند وجهی گوییم حال در گراف چند وجهی $G$ درجه هر راس 4 است حداقل تعداد مثلث ها را بیابید
در چند وجهی $G$ چهار ضلعی و پنج ضلعی نداریم حداقل تعداد مثلث ها را بیابید
در هر گراف مسطح ثابت کنید عدد رنگی آن و مساوی 6 است و به عنوان یک مسئله سخت المپیادی ثابت کنید که عدد رنگی هر گراف مسطح کمتتر مساوی 5 است توجه کنید که در حالت کلی برای 4 برقرار است ولی اثبات آن خیلی سخت بوده ولی برای 5 و6 میشود اثباتی ارائه داد
هرگاه $G$ گرافی مسطح با 11 راس باشد ثابت کنید مکمل آن نامسطح است
در یک $n$ ضلعی محدب همه قطرها کشید شده اند درون این $n$ ضلعی حداکثر به چند ناحیه تقسیم میشود؟
$n$ نقطه در صفحه طوری قرار دارند که فاصله هر دوتایی از آنها حداقل 1 است ثابت کنید حداکثر $3n-6$ زوج از این نقاط فاصله ای دقیقا برابر 1 دارند
هرگاه گراف $G$ مسطح باشد ثابت کنید راسی با حداکثر درجه 5 دارد
هرگاه گراف مسطح $G$ کمری برابر $g$ داشته باشد کرانی برای یال های آن ارائه دهید
یک گراف هامنی ارائه دهید که درجه هر راس آن حداقل 5 است
یک گراف هامنی(مسطح) 4 منتظم ارائه دهید
گرافی خود مکمل است که مکملش با خودش یک ریخت باشد :مثالی ارائه دهید یا رد کنید که گرافی خود مکمل 8 راسی و مسطح وجود دارد
نشان دهید گراف پیترسن نامسطح است
مثالی از یک گراف ناهامنی و همبند ساده ارائه دهید که تعداد یال های آن $3n-6$ عدد یا کمتر از آن باشد
نشان دهید هر گراف ساده با دست کم 4 راس دارای 4 راس با درجه حداکثر 5 است
اگر یالی داشته باشیم که در گراف مسطح ما ناحیه دو سمت آن یکی باشند آن یال دارای چه ویژگی هست؟
ثابت کنید میتوان هر ناحیه از گراف مسطح را به ناحیه بی نهایت تبدیل کرد
کاوش کنید که در گراف دوگان $G$ هر کدام از موارد زیر به چه چیزی تبدیل میشوند یال برشی ،یال چندگانه ،ناحیه ،یال
$G$ یک چند وجهی با نواحی مثلثی است ثابت کنید می توان یالها را قرمز و آبی کرد که از هر راس به هر راس دیگر هم مسیر قرمز داشته باشیم هم مسیر آبی داشته باشیم
یک کره با حداقل 3 دایره عظیمه روی آن داده شده است به طوری که همه ی این دایره ها از یک نقطه نمیگذرند ثابت کنید نقطه ای روی دایره هست که دقیقا تقاطع دو دایره است
منبع: امتحان درس گراف دوره تابستان ۱۳۸۵
گراف مسطح $G$ داریم که تمام ناحیه های آن (از جمله ناحیه بیرونی) به شکل مثلث اند. سه یال ناحیه بیرونی را حذف می کنیم و گراف حاصل را $H$ می نامیم. ثابت کنید یال های $H$ را می توان به تعدادی $K_{1,3}$ افراز کرد به طوری که هر راس به جز سه راس بیرونی در دقیقا یکی از آن ها نقش راس مرکزی را داشته باشد.