دترمینان ماتریس ها

قبل از هر چیزی باید اشاره کنیم که دترمینان برای ماتریس هایی تعریف می شود که تعداد سطر و ستون آن ها برابر است و دترمینان ماتریسی که یک سطر و یک ستون دارد برابر تک درایه آن است.

\(\begin{equation*} |A| = \begin{vmatrix} 5 \end{vmatrix} = 5 \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} |A| = \begin{vmatrix} 3.3 \end{vmatrix} = 3.3 \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} |A| = \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -2 \end{equation*}\)

برای بدست آوردن دترمینان یک ماتریس ابتدا یه سطر یا یک ستون را انتخاب میکنیم. برای مثال سطر i را انتخاب می کنیم. حال دترمینان برابر است با جمع \(-1^{i + j} × a_{ij} × det(B_{ij})\) که در آن j عدد طبیعی حداکثر برابر با تعداد ستون ها است و \(det(C)\) برابر با دترمینان ماتریس مربعی C است و \(B_{ij}\) برابر با ماتریسی است که با حذف سطر i و ستون j از A بدست می آید.

\(\begin{equation*} |A| = \begin{vmatrix} 5 \end{vmatrix} = 5 \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} |A| = \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 6 \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} |A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = -2 \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} |A| = \begin{vmatrix} 8 \end{vmatrix} = 8 \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} |A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 37 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} |A| = \begin{vmatrix} 2.5 & 4 & 0 \\ 5 & 8 & 0 \\ -9.056 & 0 & 37 \\ \end{vmatrix} = 0 \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} |A| = \begin{vmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 37 & 0 & 2 \\ \end{vmatrix} = 84 \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} |A| = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} = 120 \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} |A| = \begin{vmatrix} 37 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} = 37 \end{equation*}\)

\(\begin{equation*} |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 \end{equation*}\)

دترمینان در میان ماتریس ها عملکرد زیادی دارد. یکی از کاربرد های دترمینان در تئوری کیرشهف (Kirchhoff) است.

تئوری کیرشهف (Kirchhoff)

فرض کنید گرافی به ما داده شده و می خواهیم تعداد زیر درخت های فراگیر آن را حساب کنیم. یکی از روش های محاسبه این مقدار روش کیرشهف برای این کار است. در ابتدا یک ماتریس n × n می سازیم که در آن \(a_{ij}\) به ازای i = j برابر درجه راس i است و در غیر این صورت برابر با قرینه تعداد یال های بین راس های i و j گراف است‌. تنها نکته ای که باید به آن توجه داشت این است که قبل از درست کردن ماتریس طوقه ها را از گراف حذف کنیم. حال هر سطر و هر ستونی که بخواهیم که حذف می کنیم و دترمینان ماتریس حاصل(که یک سطر و یک ستون از دست داده) را حساب می کنیم که برابر با تعداد زیر درخت های فراگیر گراف است.